science

     Ένα από τα παράδοξα του Ζήνωνα. Έχουμε δύο δρομείς, τον Αχιλλέα, που τρέχει γρήγορα, και τη χελώνα, που πάει πιο αργά από τον Αχιλλέα, οι οποίοι συμμετέχουν σε αγώνα δρόμου. Μιας και η χελώνα είναι πιο αργή της χαρίζεται ένα προβάδισμα από τον Αχιλλέα, το οποίο όμως φαίνεται να επιδρά καθοριστικά στο να νικά πάντα η χελώνα, όσο μικρό κι αν είναι το προβάδισμα και όσο μεγάλη και να είναι η απόσταση που θα διανύσουν στον αγώνα δρόμου. Για να προσπεράσει ο Αχιλλέας τη χελώνα πρέπει πρώτα να φτάσει στο σημείο από το οποίο η χελώνα ξεκίνησε. Όμως αυτό δεν πρόκειται να γίνει ποτέ όσο η χελώνα συνεχίζει να προχωρά, όσο αργή κι αν είναι. Ώσπου να καλύψει ο Αχιλλέας την απόσταση αυτή, η χελώνα θα έχει προχωρήσει λίγο πιο πέρα. Έτσι ο Αχιλλέας υποχρεούται να διανύσει κι άλλο διάστημα, ως τη νέα θέση της χελώνας. Ώσπου να διατρέξει το νέο αυτό διάστημα, η χελώνα θα έχει προχωρήσει κι άλλο, στον χρόνο που ο Αχιλλέας χρειάζεται για να φτάσει στο προηγούμενο σημείο. ...

 Ο Παρμενίδης, ο Ζήνων και άλλοι Ελεάτες φιλόσοφοι υποστήριζαν στο φιλοσοφικό τους έργο ότι κάθετί που έχει διατάσεις μπορεί να κοπεί σε μικρότερα κομμάτια και αυτή η διαδικασία μπορεί να συνεχιστεί επ'άπειρον.    Με αυτό το συλλογισμό έφτασαν στο συμπέρασμα ότι μπορούμε να φτάσουμε σε κάτι που να είναι απείρως μικρό, άρα μηδενικό (μή ον).  Αυτό οδήγησε στην άποψη ότι οι αισθήσεις μας παραπλανούν (πράγμα που ισχύει) σε σημείο που όλα όσα αντιλαμβανόμαστε να είναι ψευδαισθήσεις όπως π.χ. η κίνηση. Ο Λεύκιππος και ο Δημόκριτος πίστευαν ότι η ύλη αποτελείτο από αδιάσπαστα, αόρατα στοιχεία, τα άτομα (α-τομή, δεν κόβονται). Το άτομο του Δημόκριτου δεν έχει καμία σχέση με το άτομο που μάθαμε στο σχολείο αφού έχει δομή. Σύμφωνα λοιπόν με τον Δημόκριτο η επ'άπειρον τομή δεν υφίσταται. Η ιδέα που έχουμε σήμερα για την ευθεία των πραγματικών αριθμών ουσιαστικά ταυτίζεται με τις ιδέες των Ελεατών φιλοσόφων. Είναι ένα σύνολο σημείων μηδενικών διαστάσεων που δημιουργούν μια άπειρ...

Στα μαθηματικά, οι πραγματικοί αριθμοί γίνονται αντιληπτοί διαισθητικά ως το σύνολο όλων των αριθμών που είναι σε ένα προς ένα αντιστοιχία με τα σημεία μιας άπειρης ευθείας, που καλείται ευθεία των πραγματικών αριθμών ή πραγματικός άξονας.    Ο όρος «πραγματικός αριθμός» πλάστηκε εκ των υστέρων σε αντιδιαστολή προς τους «φανταστικούς αριθμούς», των οποίων η ένωση με τους πραγματικούς δίνει τους μιγαδικούς.    Η ευθεία των πραγματικών αριθμών είναι απείρως πυκνή με την έννοια ότι δεν υπάρχουν κενά. Το πλήθος των πραγματικών αριθμών έιναι -προφανώς-  άπειρο.   Το πλήθος των αριθμών που βρίσκονται μεταξύ δυο πραγματικών αριθμών έιναι επίσης άπειρο και η ευθεία είναι τόσο πυκνή που όλοι οι πραγματικοί αριθμοί θα μπορούσαν να χωρέσουν μεταξύ π.χ. του 1 και του 2 ή ακόμα ανάμεσα στο 2,345123 και στο 2,345124 !  Είναι εξίσου δύσκολο να κατασκευάσουμε την ευθεία των πραγματικών αριθμών με το να κατασκευάσουμε μια ευθεία .

 Ο τρισδιάστατος χώρος έχει τρεις (προφανώς) διαστάσεις που συμβολίζονται με τρεις διευθύνσεις (όχι απαραίτητα) κάθετες μεταξύ τους που συνήθως ονομάζονται μήκος, πλάτος και ύψος. Είναι επίσης ένα σύνολο σημείων.  

Η έννοια του επιπέδου μπορεί να περιγραφεί ως μια εντελώς ίσια  (δηλ. χωρίς κυρτότητα ή κοιλότητα)  και λεία (δηλ. χωρίς «βουνά» ή «κοιλάδες»)   επιφάνεια που έχει μηδενικό όγκο, καταλαμβάνει δύο διαστάσεις και αποτελείται από σημεία. Επεκτείνεται απεριόριστα προς τις δύο διευθύνσεις. Δυο μη παράλληλες ευθείες ορίζουν ένα επίπεδο. Όπως συμβαίνει με το σημείο και την ευθεία , είναι αδύνατο να το κατασκευάσουμε στον κόσμο μας.

  Ευθεία είναι μια γραμμή (σύνολο σημείων), απείρου μήκους και μηδενικού πάχους, χωρίς αρχή και τέλος και απολύτως ίσια.   Η ευθεία ορίζει μια (1) διάσταση. Αφού η ευθεία είναι ένα σύνολο σημείων είναι αδύνατο να την κατασκευάσουμε στον κόσμο μας.

 Το σημείο στον χώρο είναι μια οντότητα που έχει θέση, αλλά δεν έχει διαστάσεις (μήκος, πλάτος ή ύψος). Είναι κατά συνέπεια αδιάστατο.    Περιέχει την έννοια της θέσης, της ύπαρξης, αλλά δεν μπορεί να μετρηθεί.    Με βάση τον ορισμό είναι αδύνατο να κατασκευάσουμε στον κόσμο μας ένα σημείο, γιατί όσο μικρή και να σχεδιάσουμε μια κουκίδα θα έχει διαστάσεις (έστω κι αν έχει τις διαστάσεις ενός μορίου, ατόμου ή υποατομικού σωματιδίου). Η έννοια του σημείου θεωρείται μια κατάκτηση του ανθρώπινου νου.

 Μια γεωμετρική σειρά είναι μια σειρά που ο κάθε όρος της προκύπτει πολλαπλασιάζοντας το προηγούμενο με μια σταθερά.    Ένα απλό παράδειγμα γεωμετρικής σειράς είναι η   Αποδεικνύεται σχετικά εύκολα ότι η γεωμετρική σειρά ∑ n = 0 ∞ z n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }z^{n}} συγκλίνει,  αν και μόνο αν |z|<1.   Το άθροισμα απείρων όρων μιας γεωμετρικής σειράς που έχει πρώτο όρο α 1 και λόγο λ με |λ|<1 είναι Μια εφαρμογή είναι: Στο αριστερό μέλος έχουμε άθροισμα απείρων όρων που ισούται με 1. Φυσικά δεν μπορούμε να προσθέσουμε άπειρους όρους, γνωρίζουμε όμως από την ανάλυση ότι το άθροισμα έχει όριο το 1. Η χρήση του συμβόλου ίσον (=) μας κάνει μερικές φορές να ξεχνάμε ότι πρόκειται για όριο και να θεωρούμε ότι καταφέραμε να ...