science

    "Να εκφραστεί το άθροισμα των τετραγώνων των αντίστροφων φυσικών αριθμών σε κλειστή μορφή".      Αυτή ήταν περίπου η διατύπωση του προβλήματος της Βασιλείας, το οποίο διατυπώθηκε από τον  Pietro Mengoli το 1650. Η λύση δόθηκε από τον Euler το 1734 και γι αυτό ονομάστηκε έτσι (η Βασιλεία ήταν η γενέτειρα του Euler).     Σε απλά Ελληνικά η διατύπωση του προβλήματος είναι: Γράψτε σε κλειστή μορφή το άθροισμα δηλαδή βρείτε την ακριβή έκφραση αυτού του άπειρου αθροίσματος. Το αποτέλεσμα 1,644934... είναι ανοιχτή μορφή αφού μπορούμε να συνεχίσουμε να βρίσκουμε ψηφία επ'άπειρον.     Έχει ενδιαφέρον να ακολουθήσουμε τη σκέψη του Euler. Πρώτα απέδειξε ότι το άθροισμα συγκλίνει δηλαδή ότι όσο περισσότερους όρους προσθέτουμε τόσο περισσότερο πλησιάζουμε σε κάποιο πραγματικό αριθμό οπότε το άθροισμα δεν μεγαλώνει ώστε να γίνει άπειρο. Στο σημείο αυτό να επισημάνω ότι το άθροισμα αποκλίνει, δηλαδή όσο προσθέτουμε όρους το άθροισμα μεγαλώνει απεριόριστα. Η τελευταία είναι γνωστή ω

        Φανταστείτε ότι βρισκόμαστε σε μια χώρα όπου οι τραπεζικές καταθέσεις τοκίζονται με επιτόκιο 100%. Αν κάναμε μια κατάθεση 1 ευρώ, μετά από ένα χρόνο θα είχαμε ευρώ. Ας υποθέσουμε τώρα ότι η τράπεζα δέχεται να τοκίζει το κεφάλαιο ανά εξάμηνο με 50%. Τότε στο τέλος του πρώτου εξαμήνου θα είχαμε   ευρώ και στο τέλος του δεύτερου εξαμήνου  ευρώ ή ισοδύναμα   ευρώ. Αν ο ανατοκισμός γινόταν ανά τετράμηνο με 33,33% τότε στο τέλος του έτους θα είχαμε   ευρώ και ανά τρίμηνο με 25% θα είχαμε     ευρώ. Ανατοκίζοντας το κεφάλαιο του ενός ευρώ κάθε στιγμή (θεωρώντας ότι ο χρόνος είναι συνεχής μεταβλητή που διαιρείται επ'άπειρον) προκύπτει το όριο  που ονομάζεται αριθμός του Όιλερ και συμβολίζεται με e. Το e είναι άρρητος αριθμός (όπως και τα π και φ) και υπερβατικός (όπως και το π αλλά όχι το φ) δηλαδή δεν μπορεί να προκύψει ως ρίζα πολυωνύμου οποιουδήποτε βαθμού με ρητούς συντελεστές.         Η ακολουθία συγκλίνει στο e αλλά σχετικά αργά.       Το e μπορεί να υπολογιστεί από την άπειρη