Ο Αχιλλέας και η χελώνα (Παράδοξα του Ζήνωνα)

 

 

 Ένα από τα παράδοξα του Ζήνωνα.

Έχουμε δύο δρομείς, τον Αχιλλέα, που τρέχει γρήγορα, και τη χελώνα, που πάει πιο αργά από τον Αχιλλέα, οι οποίοι συμμετέχουν σε αγώνα δρόμου. Μιας και η χελώνα είναι πιο αργή της χαρίζεται ένα προβάδισμα από τον Αχιλλέα, το οποίο όμως φαίνεται να επιδρά καθοριστικά στο να νικά πάντα η χελώνα, όσο μικρό κι αν είναι το προβάδισμα και όσο μεγάλη και να είναι η απόσταση που θα διανύσουν στον αγώνα δρόμου.

Για να προσπεράσει ο Αχιλλέας τη χελώνα πρέπει πρώτα να φτάσει στο σημείο από το οποίο η χελώνα ξεκίνησε. Όμως αυτό δεν πρόκειται να γίνει ποτέ όσο η χελώνα συνεχίζει να προχωρά, όσο αργή κι αν είναι. Ώσπου να καλύψει ο Αχιλλέας την απόσταση αυτή, η χελώνα θα έχει προχωρήσει λίγο πιο πέρα. Έτσι ο Αχιλλέας υποχρεούται να διανύσει κι άλλο διάστημα, ως τη νέα θέση της χελώνας. Ώσπου να διατρέξει το νέο αυτό διάστημα, η χελώνα θα έχει προχωρήσει κι άλλο, στον χρόνο που ο Αχιλλέας χρειάζεται για να φτάσει στο προηγούμενο σημείο.

Το διάστημα που τους χωρίζει μπορεί να γίνεται ολοένα και πιο μικρό, όμως ποτέ ο γρήγορος Αχιλλέας δεν μπορεί να φτάσει την αργή χελώνα, αφού ο χώρος μπορεί και διαιρείται σε όλο και πιο μικρά μέρη (και πράγματι μπορεί σύμφωνα με την Ελεατική φιλοσοφία).

Για να φτάσει ο Αχιλλέας τη χελώνα (πόσο μάλλον να την προσπεράσει!) θα χρειαστεί να διανύσει άπειρο πλήθος διαστημάτων. Στο σημείο αυτό ο Ζήνων κάνει την -λανθασμένη- υπόθεση ότι το άθροισμα απείρων αριθμών έχει αποτέλεσμα πάντα το άπειρο οπότε προκύπτει το παράδοξο, το οποίο για τον Ζήνωνα σημαίνει ότι δεν υπάρχει κίνηση δηλ. οτι η κίνηση είναι ψευδαίσθηση.

Το παράδοξο προκύπτει όμως και χωρίς τη λανθασμένη υπόθεση του Ζήνωνα. Γνωρίζουμε π.χ. ότι το άθροισμα άπειρων όρων της γεωμετρικής σειράς με |λ|<1 είναι πεπερασμένο. Ας υποθέσουμε ότι ο Αχιλλέας τρέχει με διπλάσια ταχύτητα από τη χελώνα. Αν το προβάδισμα της χελώνας είναι S τότε:

Όταν ο Αχιλλέας θα έχει διανύσει απόσταση S η χελώνα θα έχει προχωρήσει S/2

Όταν ο Αχιλλέας θα έχει διανύσει επιπλέον απόσταση S/2 η χελώνα θα έχει προχωρήσει S/4

Όταν ο Αχιλλέας θα έχει διανύσει επιπλέον απόσταση S/4 η χελώνα θα έχει προχωρήσει S/8

.....

Άρα ο Αχιλλέας για να φτάσει τη χελώνα πρέπει να διανύσει απόσταση

 

Ο Αχιλλέας λοιπόν θα φτάσει τη χελώνα ότα διανύσει απόσταση 2S αλλά θα έχει προσθέσει άπειρο αριθμό αποστάσεων, όποια και να είναι η απόσταση S. Έτσι καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι κάθε απόσταση S πρέπει να αποτελείται από άπειρο αριθμό τμημάτων (ακόμα και για να κάνουμε ένα βήμα πρέπει να διανύσουμε άπειρα τμήματα!)

Για να διανύσουμε οποιαδήποτε απόσταση λοιπόν πρέπει να είμαστε εφοδιασμένοι με την super-δύναμη να μετράμε μέχρι το άπειρο, οπότε έχουμε το παράδοξο.

Το παράδοξο ερμηνεύεται από το Ζήνωνα με την παραδοχή ότι η κίνηση είναι ψευδαίσθηση και κατα συνέπεια ζούμε σε μια πλάνη.

Η ερμηνεία που δίνουν οι ατομικοί φιλόσοφοι (Λεύκιππος, Δημόκριτος κ.α.) μέσω της ατομικής θεωρίας αναιρεί το παράδοξο, αφού ο Αχιλλέας θα πρέπει να διανύσει πεπερασμένο αριθμό διαστημάτων.

Η σύγχρονη φυσική φαίνεται να συμφωνεί με την ατομική θεωρία του Δημόκριτου σε ότι αφορά τη δομή του χώρου (και του χρόνου όπως θα δούμε αργότερα). Ίσως το κβάντο του χώρου σε μια διάσταση να είναι ίσο με το μήκος Planck [περίπου 10^(-33) cm] ή ίσως να είναι ακόμα μικρότερο. Ο χρόνος θα δείξει!