θεϊκή αναλογία, χρυσή τομή ή χρυσός λόγος - φ=1,618...

 

 

    Δύο ποσότητες έχουν αναλογία χρυσής τομής αν ο λόγος του αθροίσματος τους προς τη μεγαλύτερη ποσότητα είναι ίσος με το λόγο της μεγαλύτερης ποσότητας προς τη μικρότερη.

    Αλγεβρικά μπορούμε να το εκφράσουμε ως εξής:

    Οι λύσεις της δευτεροβάθμιας εξίσωσης είναι

 

     Ο λόγος φ πρέπει να είναι θετικός οπότε η δεύτερη λύση συνήθως απορρίπτεται αν και θα δούμε στη συνέχεια ότι και αυτή έχει ορισμένες ενδιαφέρουσες ιδιότητες.

    Ένα χρυσό ορθογώνιο κατασκευάζεται έτσι ώστε ο λόγος των πλευρών του να ισούται με φ.

    Γεωμετρικά μπορούμε να το κατασκευάσουμε με πολλούς τρόπους. Διάλεξα ένα σχετικά εύκολο. Ξεκινάμε με ένα τετράγωνο πλευράς 2 και σχεδιάζουμε το μπλε ευθύγραμμο τμήμα.

    Στη συνέχεια σχεδιάζουμε κύκλο με διάμετρο το μπλε ευθύγραμμο τμήμα.

 

 οπότε το μήκος του κόκκινου ευθύγραμμου τμήματος είναι φ.

 

    Το φ μπορεί να εκφραστεί ως συνεχόμενο κλάσμα 

    και ως συνεχόμενη τετραγωνική ρίζα

    Από τη δευτεροβάθμια εξίσωση όπου το φ προκύπτει ως λύση έχουμε τις εξής σχέσεις:

                                                επίσης

                                            και συνεχίζοντας

                                                                κλπ

    Οι αριθμοί 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 ... που εμφανίζονται στις παραπάνω σχέσεις είναι όροι της ακολουθίας Fibonacci η οποία ορίζεται ως εξής:

    οπότε κάθε όρος προκύπτει από το άθροισμα των δύο προηγούμενων:

                        1+1=2,    2+1=3,    3+2=5,    5+3=8,     

          8+5=13, 13+8=21, 21+13=34, 34+21=55 κλπ

    Η ακολουθία Fibonacci αποκτά ιδιαίτερο ενδιαφέρον καθώς οι αριθμοί Fibonacci εμφανίζονται στη φύση αλλά και γιατί όπως απέδειξε ο Johannes Kepler (1571-1630) το όριο του λόγου δύο διαδοχικών όρων της ακολουθίας ισούται με ... φ !!! Δηλαδή

    όπως φαίνεται και από τις εξής προσεγγίσεις

                                                            κλπ

    Επιστρέφω στη γεωμετρία. Η διαγώνιος ενός κανονικού πενταγώνου 

πλευράς 1 ισούται με φ

Στο σύμβολο των Πυθαγορείων (που έχει κακοχαρακτηριστεί...) ισχύει

    Επίσης το φ εμφανίζεται στο κανονικό εικοσάεδρο που οι πλευρές του είναι κανονικά πεντάγωνα

   με τη χρήση τριών ίσων χρυσών ορθογωνίων κατασκευάζεται το στερεό

    Η χρυσή σπείρα κατασκευάζεται ως εξής:

 

    και εμφανίζεται στη φύση
 

 

           και σε ορισμένα είδη λουλουδιών

                           όπως δείχνει η εξής ανάλυση    

                                    αλλά και η εικόνα

    Το φ εμφανίζεται στην τέχνη σε μουσικά κομμάτια όπως και στη ζωγραφική αλλά και σε τεχνουργήματα των αρχαίων Ελλήνων. Το έργο του Νταλί The Sacrament of the Last Supper (Το Μυστήριο του Τελευταίου Δείπνου) είναι σχεδιασμένο σε καμβά που έχει σχήμα χρυσού ορθογωνίου και φαίνονται τα πεντάγωνα του κανονικού εικοσάεδρου που περιβάλλει την εικόνα

    Λίγη άλγεβρα ξανά. Στο link που παραθέτω διαβάζουμε: 

    Το θέμα είναι ότι το δοκίμασα και είναι πράγματι έτσι. Αλλά μου κίνησε το ενδιαφέρον για να βρω γιατί συμβαίνει αυτό και βρήκα μια πολύ κομψή εξήγηση, που βασίζεται ακριβώς στις δυνάμεις του φ.

    Οι αριθμοί 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47... είναι όροι της ακολουθίας Lucas και όπως με την ακολουθία Fibonacci κάθε όρος είναι το άθροισμα των δυο προηγούμενων, και το όριο του πηλίκου δυο διαδοχικών όρων είναι φ - όπως συμβαίνει σε κάθε ακολουθία τύπου Fibonacci.

    Επειδή φ>1 οι δυνάμεις του φ τείνουν στο άπειρο απότε οι αρνητικές δυνάμεις του φ τείνουν στο μηδέν. Οπότε

οι περιττές δυνάμεις του φ είναι κάποιος ακέραιος και κάτι μικρό ενώ οι άρτιες είναι κάποιος ακέραιος παρά κάτι μικρό. Απολύτως φυσιολογικό!

    Οι όροι της ακολουθίας Fibonacci υπολογίζονται από τη σχέση

και οι όροι της ακολουθίας Lucas από τη σχέση

 

 

    Μια σχέση που συνδέει το φ με το π (η απόδειξη δική μου, δεν βρήκα κάτι παρόμοιο στο διαδίκτυο) είναι

    Τέλος η χρυσή τομή ή χρυσός λόγος ή θεϊκή αναλογία ή άκρος και μέσος λόγος (κατά τον Ευκλείδη) συμβολίζεται διεθνώς με φ προς τιμή του αρχαίου - τι άλλο; - Έλληνα Φειδία. (Φωτο: wikipedia)