Η σταθερά του Αρχιμήδη - Το παγκοσμίως γνωστό π ή pi

 

    Η μαθηματική σταθερά π είναι ένας πραγματικός αριθμός που μπορεί να οριστεί ως ο λόγος του μήκους της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του στην Ευκλείδεια γεωμετρία και ο οποίος εμφανίζεται πολύ συχνά στα μαθηματικά και στη φυσική. Με ακρίβεια οκτώ δεκαδικών ψηφίων είναι ίσος με 3,14159265.

    Ο συμβολισμός προέρχεται από το αρχικό γράμμα «π» της λέξης «περιφέρεια» και έχει καθιερωθεί διεθνώς, ενώ στο λατινικό αλφάβητο συμβολίζεται ως Pi. Ο αριθμός π είναι άρρητος οπότε έχει άπειρα δεκαδικά ψηφία που δεν προκύπτουν από κάποιο μοτίβο.

    Μάλιστα εδώ και χρόνια χιλιάδες άνθρωποι σε όλο τον κόσμο προσπαθούν να ανακαλύψουν όσο το δυνατόν περισσότερα δεκαδικά ψηφία του π. Το ρεκόρ κατέχει αυτή την στιγμή ένας γάλλος προγραμματιστής που κατέφερε με την βοήθεια υπολογιστή να βρει 2,7 τρισεκατομμύρια ψηφία.

    Το π είναι ένας υπερβατικός αριθμός δηλαδή δεν αποτελεί ρίζα ενός μη-μηδενικού πολυωνύμου με ρητούς συντελεστές. Αυτό έχει σαν συνέπεια ότι είναι αδύνατο να λυθεί το αρχαίο πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου με κανόνα και διαβήτη.

    Ο πρώτος καταγεγραμμένος αλγόριθμος για τον αυστηρό υπολογισμό της τιμής του π ήταν μια γεωμετρική προσέγγιση χρησιμοποιώντας πολύγωνα γύρω στο 250 π.Χ. από τον Έλληνα μαθηματικό Αρχιμήδη. Αυτός ο πολυγωνικός αλγόριθμος χρησιμοποιείται για πάνω από 1,000 χρόνια και ως εκ τούτου το π μερικές φορές αναφέρεται ως «Σταθερά του Αρχιμήδη». Ο Αρχιμήδης υπολόγισε τα ανώτερα και κατώτερα όρια του π χρησιμοποιώντας εγγεγραμμένο και περιγεγραμμένο κανονικό εξάγωνο σε κύκλο και διαδοχικά διπλασίαζε τον αριθμό των πλευρών ώσπου έφτασε στο κανονικό 96-γωνο. Έτσι απέδειξε ότι

 

δηλαδή 3.1408 < π < 3.1429. Την τιμή 22/7 τη χρησιμοποιούσε πολύ συχνά ως προσέγγιση του π.

    Στο σημείο αυτό αποφάσισα να χρησιμοποιήσω μια παραλλαγή του αλγόριθμου του Αρχιμήδη και τη "φτωχή" υπολογιστική ισχύ του προγράμματος Libreoffice Calc για τον υπολογισμό του π με 10 σωστά ψηφία.

Θεώρησα ότι ένα κανονικό ν-γωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ. Από τον νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο ΑΟΒ υπολόγισα την πλευρά ΑΒ.

 Χρησιμοποιώντας τη σχέση 

βρίσκουμε ότι

οπότε η περίμετρος L του ν-γώνου είναι

Είναι προφανές ότι 

οπότε το πηλίκο περίμετρος προς διάμετρος είναι

 Το Libreoffice Calc υπολόγισε την τιμή αυτής της παράστασης και τα σωστά ψηφία του π φαίνονται στον παρακάτω πίνακα.

Η σύγκλιση φαίνεται να είναι αργή κι έτσι προσπάθησα να βρω σειρές που να συγκλίνουν πιο γρήγορα. Για αρχή χρησιμοποίησα τη συνάρτηση β του Dirichlet 

που ορίζεται ως 

 Για n=1 είναι 

 

οπότε 

 

και χρησιμοποιώντας πάλι το  Libreoffice Calc βρήκα:

Βλέπουμε ότι η σύγκλιση είναι πιο αργή. Δοκίμασα στη συνέχεια την τιμή της συνάρτησης ζ(s) του Riemann 

 

για s=2

 οπότε

με τα εξής αποτελέσματα

Ο αλγόριθμος του Αρχιμήδη έδινε τη γρηγορότερη σύγκλιση! Όμως στη συνέχεια...

Συνάρτηση β του Dirichlet για n=5: 

οπότε 

Συνάρτηση ζ(s) για s=6:

οπότε

 

 Συνάρτηση ζ(s) για s=14:

οπότε

 

 

Η σύγκλιση είναι πολύ γρήγορη αλλά το μειονέκτημα είναι ότι οι υπολογισμοί γίνονται σε περισσότερο χρόνο.

Φυσικά υπάρχουν αλγόριθμοι που συγκλίνουν πολύ πιο γρήγορα.

    Εδώ θα κάνω μια αναφορά στο πρόβλημα της Βασιλείας, που διατυπώθηκε ως εξής:

"Να εκφραστεί το άθροισμα της άπειρης σειράς

σε κλειστή μορφή".

Τη λύση ανακοίνωσε ο Euler το 1730 περίπου και το αποτέλεσμα εξέπληξε τους μαθηματικούς εκείνης της εποχής:

    Σήμερα είμαστε συνηθισμένοι να βλέπουμε το π να "εμφανίζεται" παντού, αλλά εκείνη την εποχή ήταν ανεξήγητη η εμφάνισή του σε ένα πρόβλημα άπειρης σειράς, ενώ έχει να κάνει με κύκλους και κωνικές τομές γενικότερα.

    Κατά την άποψη ενός φίλου μαθηματικού, στην πραγματικότητα δεν κάνουμε τίποτα παραπάνω από το να αντικαθιστούμε ένα όριο (μια άπειρη σειρά) με ένα άλλο όριο (το π). Το ερώτημα βέβαια παραμένει: Γιατί να εμφανίζεται το συγκεκριμένο όριο; Προς το παρόν δεν έχουμε καμία ιδέα!

    

    Τελειώνοντας θα αναφέρω μερικές περιπτώσεις που το π εμφανίζεται στα μαθηματικά και στη φυσική (αναπάντεχα ίσως μερικές φορές):

Η λίστα είναι πραγματικά πολύ μεγάλη!