science

    "Να εκφραστεί το άθροισμα των τετραγώνων των αντίστροφων φυσικών αριθμών σε κλειστή μορφή".      Αυτή ήταν περίπου η διατύπωση του προβλήματος της Βασιλείας, το οποίο διατυπώθηκε από τον  Pietro Mengoli το 1650. Η λύση δόθηκε από τον Euler το 1734 και γι αυτό ονομάστηκε έτσι (η Βασιλεία ήταν η γενέτειρα του Euler).     Σε απλά Ελληνικά η διατύπωση του προβλήματος είναι: Γράψτε σε κλειστή μορφή το άθροισμα δηλαδή βρείτε την ακριβή έκφραση αυτού του άπειρου αθροίσματος. Το αποτέλεσμα 1,644934... είναι ανοιχτή μορφή αφού μπορούμε να συνεχίσουμε να βρίσκουμε ψηφία επ'άπειρον.     Έχει ενδιαφέρον να ακολουθήσουμε τη σκέψη του Euler. Πρώτα απέδειξε ότι το άθροισμα συγκλίνει δηλαδή ότι όσο περισσότερους όρους προσθέτουμε τόσο περισσότερο πλησιάζουμε σε κάποιο πραγματικό αριθμό οπότε το άθροισμα δεν μεγαλώνει ώστε να γίνει άπειρο. Στο σημείο αυτό να επισημάνω ότι το άθροισμα αποκλίνει, δηλαδή όσο προσθέτουμε όρους το άθροισμα...